半希尔伯特空间算子的广义 Schwarz 不等式与若干 $A$-数值半径不等式

本文证明了半希尔伯特空间算子的混合 Schwarz 不等式。即，对每一个正希尔伯特空间算子 $A$。若 $f$ 和 $g$ 是 $\left[0,\infty\right)$ 上满足 $f(t)g(t) =t$ $(t\ge0)$ 的非负连续函数，则 \begin{align*} \left| {\left\langle {T x,y} \right\rangle_A } \right| \le \left\| {f\left( {\left| T \right|_A x} \right)} \right\|_A \left\| {g\left( {\left| {T^{\sharp_A } } \right|_A y} \right)} \right\|_A \end{align*} 对每一个满足 $T^* A$ 的值域包含于 $A$ 的值域中、且 $A$ 与 $T$ 可交换的希尔伯特空间算子 $T$，以及所有向量 $x,y\in \mathscr{H}$ 成立，其中 $\left| T \right|_A = \left(AT^{\sharp_A}T\right)^{1/2}$，且 $T^{\sharp_A}=A^\dagger T^*A$，$A^\dagger$ 为 $A$ 的 Moore-Penrose 逆。在此基础上，引入了关于 $A$-数值半径的一些不等式。