具突变 Lotka-Volterra 常微分竞争系统解的收敛到平衡态

本文研究一类 Lotka-Volterra 型突变竞争模型解的长时间行为。我们的主要动机源于对模拟宿主体内多种病毒种群-遗传动态的 Lotka-Volterra 突变竞争系统的分析： \frac{dv_{i}(t)}{dt}=v_i\[r_i-\frac{1}{K}\Psi_i(v)\]+\sum_{j=1}^{N} \mu_{ij}(v_j-v_i). 在第一部分，我们分析了竞争项 $\Psi_i$ 不依赖于病毒类型 $i$ 的情形。在此情形下，基于对函数 $\Psi_i$、系数 $r_i$ 和突变矩阵 $\mu_{ij}$ 的某些相当一般的假设，我们证明了一个唯一的正全局稳定稳态解的存在性，即该解吸引从任何非负初始数据出发的轨迹。此外，该唯一稳态 $\bar v$ 是严格正的，即对所有 $i$ 有 $\bar v_i>0$。这些结果与无突变项的 Lotka-Volterra 系统的行为形成鲜明对比，后者已知存在多个非负稳态解且会发生排斥原理（即对所有 $i\neq i_0$，有 $\bar v_{i}=0$ 而 $\bar v_{i_0}>0$）。随后，我们探究了一个为解释某些实验数据而提出的典型例子。对此类特定模型，我们刻画了收敛到平衡态的速度。在第二部分，我们在一些附加假设下证明了完整系统正稳态的存在性，并分析了长期动力学行为。证明主要依赖于构造一个相对熵，它起到了 Lyapunov 泛函的作用。