内函数迭代的线性组合的收敛性

设 $f$ 为满足 $f(0)=0$ 且非旋转的内函数,并设 $f^{n}$ 为其第 $n$ 次迭代。设 $\{a_{n}\}$ 为一复数序列。我们证明级数 $\sum a_{n}f^{n}(\xi)$ 在单位圆上几乎所有点 $\xi$ 处收敛当且仅当 $\sum |a_n|^2 < \infty$。证明的主要步骤是在此假设下证明函数 $F= \sum a_n f^n$ 具有有界平均振荡。我们还证明 $F$ 在单位圆盘上有界当且仅当 $\sum |a_n| < \infty$。最后我们刻画了使得 $F$ 属于其他经典函数空间(如圆盘代数与 Dirichlet 类)的系数序列 $\{a_n\}$。