Blaschke 乘积的迭代与 Peano 曲线

设 $f$ 为一个有限 Blaschke 乘积，满足 $f(0)=0$ 且不是旋转，并设 $f^{n}$ 为其第 $n$ 次迭代。给定复数序列 $\{a_{n}\}$，考虑 $F= \sum a_n f^{n}$。若 $\{a_n\}$ 趋于 $0$ 但 $\sum |a_n| = \infty$，我们证明对任意复数 $w$，存在单位圆上的点 $\xi$ 使得 $\sum a_{n}f^{n}(\xi)$ 收敛且和为 $w$。若 $\sum |a_n| < \infty$ 且收敛在某种精确意义下足够慢，则 $F$ 下单位圆的像具有非空内部。证明基于归纳构造，利用了 $f$ 作为单位圆自映射与作为单位圆盘自映射的动力学之间优美的相互作用。