周期盒子中 Stefan 问题的控制

本文考虑带表面张力的单相 Stefan 问题，设置于二维条带形几何中，关于水平方向 $x_1\in\mathbb{T}$ 具有周期边界条件。我们证明该系统在任意正时间内是局部零可控的，通过支撑于任意开且非空子集内的控制实现。我们采用线性测试与对偶性进行，但很快发现线性化系统不对称，且伴随系统通过（固定的）边界在两个状态间有动态耦合。因此，受关于 $x_1$ 的傅里叶分解启发，我们考虑一族一维系统并证明关于傅里叶频率参数一致的能观性结果。后一结果也是新颖的，因为我们计算了非零傅里叶模下底层算子的全谱。另一方面，零模系统被视为带有限维约束的线性热方程的可控性问题。伴随系统的完全能观性通过使用 Lebeau-Robbiano 策略导出，而非线性系统的局部可控性则通过结合 \cite{tucsnak_burgers} 中引入的源项方法的改进与 Banach 不动点论证得以证明。数值实验引出了若干具有挑战性的开放问题，甚至超越了本文所处理的具体设定。