带不齐谐线缺陷的连续蜂巢薛定谔算子

我们研究了在二维蜂巢结构中沿非齐谐或“无理”线缝/边缘进行波传播的问题。我们的模型是一种薛定谔算子，其在边缘处穿越两个具有共同谱隙的不同bulk（渐近）哈姆顿算子，測距该測距约在未扰动蜂巢算子的“狄拉克点”附近。我们寻找边缘态——即在边缘方向上有界且振荡、在横向方向上衰减的本征态。对于非齐谐边缘，这些态的严格定义由于缺乏在边缘上的平移对称性而并不显而易见。为此，我们沿边缘利用准周期性，通过将哈姆顿算子表述为描述3D介质中具有2D界面、且该界面内具有周期性的3D（退化椭圆）哈姆顿算子的限制。通过多尺度分析，我们在该3D情境下构造近似边缘态，并通过限制得到在无理边缘上准周期的2D边缘态。这些边缘态由具有无限块对角结构的有效薛定谔算子的本征函数所激发，由于非齐谐几何结构。其结果是，无数个边缘态本征对出现，其能量在扰动后的bulk谱隙中稠密。将来论文中将在Diophantine条件下严格构造这些填隙边缘态。本文的主要结果是该构造的关键工具：一种3D哈姆顿算子的迈卡仕尼分析，其主导项是块对角化薛定谔算子的迈卡仕尼矩阵。该分析的有效性要求该哈姆顿算子的各向异性非共振（无折叠）条件，即该未扰动蜂巢哈姆顿算子的色散函数满足该条件。在强束缚极限下满足该各向异性条件。与早期关于齐谐边缘的工作不同，本文的各向异性条件与边缘无关。