边缘态与谷霍尔效应

我们研究二维连续、能量守恒周期介质中沿线缺陷（边缘）的能量传播。未受扰动的介质（体）由蜂窝薛定谔算子建模，该算子关于三角晶格周期，在宇称 P 和复共轭 C 下不变。蜂窝算子具有狄拉克点：两个色散面在能级 $E_D$ 处锥状相触 [25,27]。打破 P 或 C 的周期扰动在关于能量 $E_D$ 的本质谱中打开一个带隙。此类算子建模了 $E_D$ 附近的绝缘体。我们的边缘算子是体的微小扰动，并建模了在 distinct 周期、破 P 或破 C 扰动之间（经由畴壁）的过渡。该边缘算子允许沿线缺陷的能量输运。相关的能量通道称为边缘态。它们是时间调和解，局域于线缺陷附近并沿其传播。我们完全刻画了关于 $E_D$ 的体谱隙内的边缘态谱。我们分析的核心是关于 $E_D$ 附近能量的边缘算子预解式展开。首项具有有效狄拉克算子预解式的特征。边缘态本征值是预解式的极点，从狄拉克点分岔而出。相应的本征态具有 [23] 中所确认的多尺度结构。我们将先前关于锯齿型边缘的工作 [14] 推广到所有有理边缘。我们阐明了对称性破缺类型与边缘取向在边缘态形成中所起的作用。我们通过一种新颖、直接且透明的策略证明了预解式展开。我们的结果对数值观察 [22,38}；亦见 [42] 中的光子实验研究] 提供了严格的解释。最后，我们讨论了谷霍尔效应的启示，其关乎蜂窝结构中的类量子霍尔能量输运。