通过 2-对-1 PN 函数与 Li 界构造 $\varepsilon_{d}$-ASIC-POVM

有限维 $d$ 中的对称信息完备正算子值测度（SIC-POVM）是信息完备POVM（IC-POVM）中尤为引人关注的一类，其由 $d^{2}$ 个具有相等两两保真度的次归一化投影算子组成。然而，构造SIC-POVM十分困难，甚至是否存在无穷族SIC-POVM都不明确。为实现量子信息处理中的一些可能应用，Klappenecker等人[37]引入了称为近似对称信息完备POVM（ASIC-POVM）的SIC-POVM近似版本。本文分别在维数 $d=q$ 与维数 $d=q+1$ 下构造了一类 $\varepsilon_{d}$-ASIC-POVM，其中 $q$ 为素数幂。我们证明所有 $2$-对-$1$ 完美非线性（PN）函数均可用于构造 $\varepsilon_{q}$-ASIC-POVM。我们表明对应于 $\varepsilon_{q}$-ASIC-POVM 的向量集构成一个双角框架。$\varepsilon_{q+1}$-ASIC-POVM的构造基于称为Li界的一个乘性特征和估计。我们表明对应于 $\varepsilon_{q+1}$-ASIC-POVM的向量集构成一个渐近最优码本。我们刻画了 $\varepsilon_{q}$-ASIC-POVM（相应为 $\varepsilon_{q+1}$-ASIC-POVM）与维数 $q$（相应为维数 $q+1$）的SIC-POVM“接近程度”。最后，我们阐释了构造 $\varepsilon_{d}$-ASIC-POVM的意义。