在2维和3维中生成SIC-POVM的一些非标准方法

对称信息完备正算子值测度（SIC-POVMs）的概念起源于物理学，作为一种量子系统的最优测量基。然而，它们的存在性问题等价于一组最大复数等角线的存在问题。也就是说，给定一个$d$维复希尔伯特空间，可以找到的最大（复）线条数是多少，使得它们彼此之间都成相同的（实）角，即跨越这些线条的单位向量之间的内积都具有相同的绝对值？最大集合将由$d^2$条线组成，它们之间的共同角为$\arccos{\frac{1}{\sqrt{d+1}}}$。同样的问题在实情况下也被提出，并且已知一些部分答案。但截至撰写本文时，在实或复情况下尚未找到统一的理论结果：一些零星的低维数值构造已被转化为代数解，但除此之外所知甚少。据推测，这种结构总是作为某些基准向量在Weyl（或广义Pauli）群作用下的轨道出现。在本文中，我们指出了最低维度（$d=2$和$d=3$）中的一些新构造方法。需要说明的是，这样构造的SIC-POVM都与先前已知的SIC-POVM酉等价。