随机偏微分方程的前后 Lie 代数构造

我们给出并研究了在根树上构造前 Lie 代数结构的方法，这些根树的边和顶点都装饰有装饰，一个 grafting 乘积通过一个映射 $\phi$ 同时作用于创建的边的装饰以及持有 grafting 的顶点的装饰。我们证明，如果且仅如果映射 $\phi$ 满足一种称为树兼容性的 commutation 关系，这种构造就给出一个前 Lie 代数。我们展示了如何通过与另一个后 Lie 代数的半-direct 扩展来将这种前 Lie 代数结构扩展为后 Lie 代数。我们还定义了若干构造来获得树兼容的映射，并给出示例，包括当顶点的装饰空间为二维且边的装饰空间为有限维时，所有树可接受映射的描述。这种构造的一个具体例子由 Bruned、Hairer 和 Zambotti 用于随机偏微分方程的研究：当没有噪声时，我们证明底层树兼容映射是较简单映射的指数，并推导出与经典根树前 Lie 代数的显式同构；当涉及噪声时，我们得到底层树兼容映射作为直接和。我们还通过我们的形式主义得到 Bruned 和 Katsetsiadis 描述的后 Lie 代数。