变分问题中Nitsche方法的构造

Nitsche方法是弱强制施加偏微分方程（PDEs）边界条件的成熟途径。它具有许多理想性质，包括保持变分一致性，以及产生对称、正定且不过度病态的离散线性系统。近年来，该方法在等几何分析、浸入式方法和接触力学等诸多领域日益流行。然而，基于Nitsche方法得到公式化表述可能是数学上艰巨的过程，尤其对高阶PDE。幸运的是，在变分问题背景下推导在概念上直截了当。为便利此过程，我们在[J. Benzaken, J. A. Evans, S. McCormick, and R. Tamstorf, Nitsche's method for linear Kirchhoff-Love shells: Formulation, error analysis, and verification, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 374 (2021), p. 113544]中设计了构造此类问题Nitsche方法的抽象框架。本文目标是通过一系列教学式示例阐明该过程。首先，我们展示Poisson方程的Nitsche方法推导以对各步骤建立直觉。接着，我们呈现抽象框架，然后重访Poisson方程推导以运用框架并增添数学严谨性。在此过程中，我们将推导扩展至向量值情形。掌握基本方法后，我们通过考虑向量值双调和方程与线性化Kirchhoff-Love板，展示如何处理高阶问题。最终，期望读者能将Nitsche方法应用于任何源自变分原理的问题。