嵌入常平均曲率曲面的共形结构与颈尺寸

令 M = M_{g,k} 表示亏格为 g、具有 k 个（标号的）端的真（Alexandrov）嵌入常平均曲率（CMC）曲面空间，模去刚体运动，赋予 [kmp] 中描述的实解析结构。令 $P = P_{g,k} = r_{g,k} \times R_+^k$ 为亏格 g 带 k 个（标记）穿孔的黎曼曲面上的抛物结构空间，其实解析结构来自黎曼模空间 r_{g,k} 上的 3g-3+k 个局部复解析坐标。则抛物分类映射 Phi: M --> P 将 CMC 曲面映为其诱导共形结构与渐近颈尺寸，是一个真实解析映射。由此可知 Phi 是闭映射，特别地其像为闭集。对亏格 g=0，这可用于证明任意多重穿孔黎曼球面的共形类型都作为 CMC 曲面出现，并且——在一个非退化假设下——Phi 有良定义的（模 2）度。该度为零，故一般而言偶数个 CMC 曲面实现任一给定的共形结构与渐近颈尺寸。