共形映射与无色散Toda层次结构

设$\mathfrak{D}$为所有满足以下条件的对$(f,g)$构成的空间：$f$是单位圆盘上的单叶函数且$f(0)=0$，$g$是单位圆盘外部上的单叶函数且$g(\infty)=\infty$，并且$f'(0)g'(\infty)=1$。本文在$\mathfrak{D}$上定义了时间变量$t_n, n\in \Z$，这些变量关于$\mathfrak{D}$上的自然复结构是全纯的，并且可以作为$\mathfrak{D}$的局部复坐标。我们证明了$(f,g)$关于这些时间坐标的演化由无色散Toda层次流控制。为无色散Toda层次构造了一个显式的tau函数。通过将$\mathfrak{D}$限制到由满足$f(w)=1/\bar{g(1/\bar{w})}$的对构成的子空间$\Sigma$，我们得到了Wiegmann和Zabrodin \cite{WZ}所考虑的共形映射的可积层次。由于单位圆周上的每个$C^1$同胚$\gamma$在共形焊接$\gamma=g^{-1}\circ f$下唯一对应于$\mathfrak{D}$中的一个元素$(f,g)$，空间$\text{Homeo}_{C}(S^1)$可以自然地等同于$\mathfrak{D}$的一个子空间，其特征为$f(S^1)=g(S^1)$。我们证明可以在$\text{Homeo}_{C}(S^1)$上自然地定义复化向量场$\pa_n, n\in \Z$，使得$(f,g)$在$\text{Homeo}_{C}(S^1)$上关于$\pa_n$的演化满足无色散Toda层次。最后，我们证明对于Riemann映射$(f^{-1}, g^{-1})$存在类似的可积结构。此外，在后一种情形中，时间变量是$\gamma$和$1/\gamma^{-1}$的傅里叶系数。