仿射 oper 与保形仿射 Toda

对于仿射型 Kac-Moody 代数 $\mathfrak g$，我们证明在 $\text{Fun}\,\text{Op}_{\mathfrak g}(D)$（圆盘上 ${\mathfrak g}$-oper 空间上的函数代数）与 $W\subset \pi_0$（真空 Fock 模 $\pi_0$ 中筛算子核的交集）之间存在一个 $\text{Aut}\, \mathcal O$-等变识别。该核 $W$ 由两个态生成：一个共形矢量，以及一个态 $\delta_{-1}\left|0\right>$。我们证明后者赋予 $\pi_0$ 一个典范的平移概念 $T^{\text{(aff)}}$，并用它来定义经典保形仿射 Toda 场论运动积分在 $\pi_0$ 中的密度。$\text{Aut}\,\mathcal O$ 作用定义了一个以 $\pi_0$ 为纤维、在 $\mathbb P^1$ 上的丛 $\Pi$。我们证明张量丛 $\Pi \otimes \Omega^j$（其中 $\Omega^j$ 为典范丛的张量幂）带有一族单参数全纯联络 $\nabla^{\text{(aff)}} - \alpha T^{\text{(aff)}}$，$\alpha\in \mathbb C$。保形仿射 Toda 的运动积分定义了 $\nabla^{\text{(aff)}}$ 的 de Rham 上同调中的整体截面 $[\mathbf v_j dt^{j+1} ] \in H^1(\mathbb P^1, \Pi\otimes \Omega^j,\nabla^{\text{(aff)}})$。任意 ${\mathfrak g}$-Miura oper $\chi$ 的选择给出 $\Omega^j$ 上的一个联络 $\nabla^{\mathrm{(aff)}}_\chi$。利用余不变元，我们定义从 $\Pi \otimes \Omega^j$ 的截面到 $\Omega^j$ 的截面的映射 $\mathsf F_\chi$。我们证明 $\mathsf F_\chi \nabla^{\text{(aff)}} = \nabla^{\text{(aff)}}_\chi \mathsf F_\chi$，从而 $\mathsf F_\chi$ 降为一个良定义的上同调映射。在此映射下，类 $[\mathbf v_j dt^{j+1} ]$ 被送至由 $\chi$ 底层的 ${\mathfrak g}$-oper 所定义的 $H^1(\mathbb P^1, \Omega^j,\nabla^{\text{(aff)}}_\chi)$ 中的类。