无色散可积系统的组合学与随机矩阵理论中的普适性

众所周知，随机矩阵酉系综的配分函数由Toda格点层次的τ函数给出，而正交和辛系综的配分函数由Pfaff格点层次的τ函数给出。在这些情况下，由配分函数的对数给出的自由能的渐近展开导致了Toda和Pfaff格点层次的无色散（即连续）极限。随机矩阵的三个系综之间存在一种普适性，其一个结果是，大矩阵自由能的首阶项一致。本文以高斯系综为例，通过计算展开中自由能的首阶项明确展示了这种普适性。我们还表明，作为无色散Toda格点层次解的自由能给出了无色散Pfaff格点层次的一个解，这意味着这种普适性对于酉、正交和辛系综的首阶项普遍成立。我们还找到了两点函数$F_{nm}$的显式公式，它表示球面上具有度数n和m的两个顶点的连通带状图的数量。推导基于在无色散Toda格点层次的谱曲线上定义的Faber多项式，而$\frac{1}{nm} F_{nm}$是Faber多项式的Grunsky系数。