点构型与辛 Berry-Robbins 问题

我们提出了一个关于点构型的新问题，这是 Atiyah 和 Sutcliffe 提出的类似问题的一个新版本，不同之处在于它与李群 $\operatorname{Sp}(n)$ 相关，而非李群 $\operatorname{U}(n)$。记 $\mathfrak{h}$ 为 $\operatorname{Sp}(n)$ 的 Cartan 代数，$\Delta$ 为 $\operatorname{Sp}(n)$ 的根的零点集与 $\mathbb{R}^3$ 的张量积的并集，其中每个根都是映射 $\mathfrak{h} \otimes \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$。我们希望构造一个映射 $(\mathfrak{h} \otimes \mathbb{R}^3) \backslash \Delta \to \operatorname{Sp}(n)/T^n$，该映射在 $\operatorname{Sp}(n)$ 的 Weyl 群 $W_n$ 的作用下是等变的（即辛 Berry-Robbins 问题）。此处，目标空间是 $\operatorname{Sp}(n)$ 的旗流形，$T^n$ 是对角 $n$-环面。Atiyah 和 Bielawski 已在更一般的背景下证明了此类映射的存在性。我们为此类等变映射提出了一个显式的光滑候选者，若某个线性无关猜想成立，则该候选者即为真正的映射。我们证明了 $n=2$ 时的线性无关猜想。