锥长与有理丢弃空间中的 Lusternik-Schnirelmann 类别

Lusternik-Schnirelmann 类别（LS-类别）是拓扑空间的最小整数 $n$，使得存在由 $n+1$ 个开集覆盖 $X$，其中每个开集在 $X$ 中都是可收缩的。锥长是从一个 suspension 开始，依次通过附加 suspension 所需的最小 cofibration 数量，以获得具有 $X$ 同伦类型的空间。LS-类别始终小于或等于其锥长。此外，这两个不变量最多相差一个。在 1981 年，J.-M. Lemaire 和 F. Sigrist 提出了以下猜想：对于有理空间，二者始终相等。该猜想对 LS-类别为 1 的空间显然成立，且在 1986 年，Y. F\'elix 和 J-C. Thomas 验证了 LS-类别为 2 的空间。但在 1999 年，N. Dupont 构建了一个锥长为 4 且 LS-类别为 3 的有理空间，使该一般猜想失效。在本工作中，我们提供了任意 $k>2$ 时，锥长为 $(k+1)$ 且 LS-类别为 $k$ 的有理空间的例子。