退化单相交界面问题中消除尖点的条件

在本文中，我们继续研究退化版 Alt-Caffarelli 泛函的局部极小元。具体而言，我们考虑泛函 $J_{Q}(u, \Omega):= \int_{\Omega} |\nabla u|^2 + Q(x)^2\chi_{\{u>0\}}dx$ 的局部极小元，其中 $Q(x) = dist(x, \Gamma)^{\gamma}$（$\gamma>0$），且 $\Gamma$ 是维数为 $0 \le k \le n-1$ 的子流形。先前已证明，在 $\Gamma$ 上，自由边界 $\partial \{u>0\}$ 可分解为一个满足有效估计的可求长集 $\mathcal{S}$ 和一个尖点集 $\Sigma$。在本注记中，我们证明在温和假设下，当 $n = 2$ 且 $\Gamma$ 为一条直线时，尖点集 $\Sigma$ 不存在。基于 Arama 和 Leoni \cite{AramaLeoni12} 的工作，我们的结果适用于 Stokes 波变分表述的物理情形，并在该背景下完全一般地给出了自由边界奇异部分的完整刻画。