一次 del Pezzo 曲面上的共点直线

设 $X$ 是代数闭域 $k$ 上的一次 del Pezzo 曲面，$K_X$ 为其典范除子。由线性系 $|-2K_X|$ 诱导的态射 $\varphi$ 将 $X$ 实现为 $\mathbb{P}^3$ 中一个锥面的二重覆盖，该覆盖在一条 6 次光滑曲线上分歧。曲面 $X$ 包含 240 条具有负自交的曲线，称为例外曲线。我们证明，对于 $\varphi$ 分歧曲线上的点 $P$，在特征 $2$ 下至多有十六条例外曲线经过 $P$，而在所有其他特征下至多有十条。此外，我们证明，对于 $\varphi$ 分歧曲线外的点 $Q$，在特征 $3$ 下至多有十二条例外曲线经过 $Q$，而在所有其他特征下至多有十条。我们表明，除可能在分歧曲线外特征 5 的情形外，这些上界在所有情况下都是紧的。