在平行移动下计算 $L_\infty$ Hausdorff 距离：维数、对称性与离散性的相互作用

为测量点集的形状相似性，广泛研究了平行移动下的各种 Hausdorff 距离概念。在此语境下，对于 $\mathbb{R}^d$ 中的 $n$ 个点集 $P$ 和 $m$ 个点集 $Q$，我们考虑计算在平行移动 $\tau \in T$ 上的最小 $d(P,Q+\tau)$ 的任务，其中 $d(\cdot, \cdot)$ 表示 $L_\infty$ 范下的 Hausdorff 距离。我们分析了连续 ($T=\mathbb{R}^d$) 与离散 ($T$ 为有限) 以及有向与无向变体之间的差异。通过细致复杂度分析，我们考察了维数 $d$、$n$ 与 $m$ 的关系，以及所选变体对运行时间的影响。我们的主要结果包括：(1)连续有向 Hausdorff 距离具有非对称的时间复杂度。虽然 Chan 在 SoCG'23 上给出了 $d\ge 3$ 时对称的 $\tilde{O}((nm)^{d/2})$ 上界，这在 $m \le n$ 时的组合算法中是条件最优的，但我们证明当 $n \ll m$ 时该上界不成立，给出 $d=3$ 时 $n=m^{o(1)}$ 的几乎线性时间算法。我们还证明了 $d\ge 3$ 的一般条件下界：对于小 $n$ 为 $m^{\lfloor d/2 \rfloor -o(1)}$，对于 $d=3$ 且小 $m$ 为 $n^{d/2 -o(1)}$。(2)虽然 $d \ge 3$ 的下界对有向和无向变体都成立，但 $d=1$ 结果导致条件分离。与无向变体可在近似线性时间内求解的事实不同，我们证明有向变体至少与加法 MaxConv 下界等价 (Cygan 等人, TALG'19)。(3)离散变体归约为 $d\le 3$ 的 3SUM 变体。这导致在正交向量假设下无法证明紧下界，与在 $d=2$（Bringmann, Nusser, JoCG'21）中存在紧 OVH-based 下界的连续变体形成对比。这些结果揭示了维数、对称性和离散性在计算平行 Hausdorff 距离中的复杂相互作用。