参数化二阶线性微分方程的微分 Galois 群单幂根的计算

我们提出了一种新方法，用于计算与如下形式的参数化二阶齐次线性微分方程相关联的微分 Galois 群 $H$ 的单幂根 $R_u(H)$：$$\tfrac{\partial^2}{\partial x^2}Y-qY=0,$$ 其中 $q \in F(x)$ 是 $x$ 的有理函数，其系数位于特征为零的 $\Pi$-域 $F$ 中，且 $\Pi$ 是一组交换的参数导子。Dreyfus 开发的程序将 $R_u(H)$ 的计算归约为求解一个创造性裂项（creative telescoping）问题，其有效解法要求假设最大可约商 $H / R_u(H)$ 是一个 $\Pi$-常线性微分代数群。当不满足此条件时，我们计算一组新的参数导子 $\Pi'$，使得相关的微分 Galois 群 $H'$ 具有 $H'/ R_u(H')$ 为 $\Pi'$-常的性质，并且 $R_u(H)$ 由与 $R_u(H')$ 相同的微分方程定义。因此，$R_u(H)$ 的计算被归约为 $R_u(H')$ 的有效计算。我们期望，通过完善此方法，能够成功扩展 Minchenko、Ovchinnikov 和 Singer 最近开发的用于计算高阶方程单幂根的某些算法的适用范围。