Landau 方程光滑解的可压缩流体极限

尽管带截断的玻尔兹曼方程的可压缩流体极限已在 [6] 和 [13] 中得到充分研究，但由于碰撞算子的速度扩散效应导致在不使用 Sobolev 嵌入时难以获得 $L^\infty$ 估计，在角非截断情形甚至给出 Landau 方程的掠射极限中获得类似结果仍基本开放。本文关注全空间中库仑势下 Landau 方程的可压缩 Euler 极限与声学极限。具体而言，在完全可压缩 Euler 方程组围绕常态存在光滑解的任意有限时间区间内，我们为具合适初值的 Landau 方程构造了高阶加权 Sobolev 空间中的唯一解，并给出独立于小克努森数 $\varepsilon>0$ 的一致估计，从而得到 Landau 解到其流体量为给定 Euler 解的局部麦克斯韦分布的 $O(\varepsilon)$ 收敛。此外，还建立了 Landau 方程光滑解在最优尺度下的声学极限。证明中，利用围绕局部麦克斯韦分布的宏-微分解，结合粘性可压缩流体技术与 Burnett 函数性质，我们设计了一个依赖于 $\varepsilon$ 的能量泛函以捕捉可压缩流体极限中的耗散，其特点为仅最高阶导数是最奇异的。