块稀疏正向量的压缩感知

在本文中，我们重新审视了压缩感知的经典问题之一。具体而言，我们考虑具有稀疏解的线性欠定系统。在过去十年中，在数学上表征通常用于求解此类系统的 $\ell_1$ 优化技术方面取得了重大成功。Seminal works \cite{CRT,DOnoho06CS} 表明，$\ell_1$ 可以恢复所谓的线性稀疏性（即即使解的稀疏度与未知向量的长度成线性比例，也能求解系统）。随后的研究 \cite{DonohoPol,DonohoUnsigned}（以及我们自己的研究 \cite{StojnicCSetam09,StojnicUpper10}）提供了这种线性关系的精确表征。在本文中，我们考虑上述稀疏驱动问题的所谓结构化版本。具体而言，我们研究稀疏解的一种特殊情况，即所谓的块稀疏解。通常采用 $\ell_2/\ell_1$-优化作为标准 $\ell_1$ 的变体来处理稀疏解系统的块稀疏情形。我们在一系列工作 \cite{StojnicCSetamBlock09,StojnicUpperBlock10,StojnicICASSP09block,StojnicJSTSP09} 中考虑了具有块稀疏解的系统，在那里我们能够为 $\ell_2/\ell_1$-优化提供精确的性能表征，类似于 \cite{StojnicCSetam09,StojnicUpper10} 中为标准 $\ell_1$ 优化所获得的结果。在这里，我们研究一类类似的系统，其中未知向量除了是块稀疏的之外，还已知其分量具有相同的符号。在本文中，我们略微调整了 $\ell_2/\ell_1$-优化以考虑已知符号，并提供了对此类调整的精确性能表征。