三次和四次Hénon-Heiles哈密顿量的完备性

四次Hénon-Heiles哈密顿量 $H = (P_1^2+P_2^2)/2+(\Omega_1 Q_1^2+\Omega_2 Q_2^2)/2 +C Q_1^4+ B Q_1^2 Q_2^2 + A Q_2^4 +(1/2)(\alpha/Q_1^2+\beta/Q_2^2) - \gamma Q_1$ 仅对四组常数值通过Painlevé检验。其中只有一组（与Manakov系统的行波约化相同）已被显式积分（Wojciechowski, 1985），而另外三组在一般情形 $(\alpha,\beta,\gamma)\not=(0,0,0)$ 下尚未被积分。我们通过构建到Cosgrove (2000)分类中两个具有Painlevé性质的四次一阶方程的双有理变换来积分它们。该变换涉及各种偏微分方程（PDEs）的平稳约化。结果与三个三次Hénon-Heiles哈密顿量的情形相同，即在这四个四次情形中，一般解是亚纯的且为亏格二的超椭圆函数。因此，在不破坏Painlevé可积性（完备性性质）的情况下，不能向三次或四次哈密顿量添加额外的自治项。