稀疏、接近整数与有限局部复杂性序列在 $L^p(\mathbb{R})$ 中的平移完备性

若实数序列 $\Lambda = \{\lambda_n\}_{n=1}^\infty$ 的某个函数的平移 $\{g(x-\lambda_n)\}_{n=1}^\infty$ 能张成空间 $L^p(\mathbb{R})$，则称其为 $p$-生成序列。虽然 $p=1$ 和 $p>2$ 情况下的 $p$-生成集合已完全分类，但 $1 < p \le 2$ 情况仍不够清楚。在这种情况下，集合的大小与算术结构都起重要作用。本文中（i）我们证明 $p$-生成集合 $\Lambda$ 可以非常稀疏，即比值 $\lambda_{n+1} / \lambda_n$ 可以任意速度趋于 1；（ii）我们证明每个“接近整数”序列 $\Lambda$，即满足 $\lambda_n = n + \alpha_n$，$0 \neq \alpha_n \to 0$，都是 $p$-生成的；（iii）我们构造 $p$-生成集合 $\Lambda$，使得相邻差值 $\lambda_{n+1} - \lambda_n$ 只取两个不同的正值。这些构造是尖锐的：众所周知 $\Lambda$ 不可能是哈达德满意的，也不可能包含在任何算术序列中。