随机整数、Sidon集、Bohr群中的稠密性以及解析性集

我们研究由独立随机选取整数 $n$ (即 $n\in\Lambda$ 的概率为 $\varpi_{n}$,且各次选择相互独立)所得到的序列 $\Lambda$ 的性质。我们区分两种情形:若 $\limsup_{n\to\infty}n\varpi_{n}<\infty$,则 $\Lambda$ 几乎必然是一个 Sidon 集,且在 Bohr 群中不稠密;若 $\lim_{n\to\infty}n\varpi_{n}=\infty$,则 $\Lambda$ 几乎必然是一个解析性集,且在 Bohr 群中稠密。