具有纤维正则性与充分单调性的非线性势理论与偏微分方程的比较原理

我们展示了一般势理论（与 $X \subset \mathbb{R}^n$ 开集上 2-射流闭子集 $\mathcal{F} \subset \mathcal{J}^2(X)$ 相关的次调和函数）与形如 $F(x,u,Du,D^2u) = 0$ 的退化椭圆及抛物型 PDE 的次解之间富有成效且共生的相互作用的一些近期进展。我们将实现 Harvey 与 Lawson 于 2009 年开创的单调性-对偶方法（在纯二阶常系数情形）以证明势理论的比较原理，其中 $\mathcal{F}$ 在变系数设定下具有充分单调性与纤维正则性，并延续到所有以精确意义与 $\mathcal{F}$ 相容且满足对应原理的微分算子 $F$。我们将考虑比较原理的椭圆与抛物两种版本，其中边界数据的影响见于整个边界或仅边界的真子集。特别关注具有所需充分单调性的恰当椭圆性与梯度方向性的梯度依赖例子。我们将讨论的示例算子包括最优传输的退化椭圆算子（其目标密度在某些方向上严格递增）以及 Krylov 意义下弱抛物的算子。进一步基于 G\r{a}rding 意义下双曲多项式建模的例子给出了一类具有梯度方向性的丰富示例。此外，我们给出一个比较原理成立但标准粘性结构条件不成立的模型示例。