$n$-范畴理论的代数与非代数基础比较

弱$n$-范畴的许多定义已被提出。人们普遍观察到，这些定义分为两种类型：代数定义（明确指定复合和协调胞腔）和非代数定义（仅要求存在复合和约束胞腔的协调选择）。定义之间的比较相对较少，且大多数比较仅涉及同一类型定义之间的关系。本论文的目标是建立更多的比较，包括代数定义与非代数定义之间的比较。论文分为两部分。第一部分涉及弱$n$-范畴的三种代数定义之间的关系：Penon、Batanin的定义以及Leinster对Batanin定义的变体。长期以来，人们一直怀疑在Batanin和Leinster的定义中用于定义复合和协调的结构之间存在对应关系；我们首次精确地阐明了这一点。我们利用这种对应关系证明了适用于所有三种定义的几个协调定理，并迈出了描述Batanin和Leinster的弱$n$-范畴之间关系的第一步。在第二部分中，我们以神经构造的形式，迈出了比较Penon的弱$n$-范畴定义与非代数定义（Simpson对Tamsamani定义的变体）的第一步。作为该神经构造的原型，我们回顾了Leinster提出的双范畴神经构造，并证明了由该构造给出的双范畴的神经是一个Tamsamani–Simpson弱2-范畴。然后，我们定义了Penon弱$n$-范畴的神经函子。我们证明了Penon弱2-范畴的神经是一个Tamsamani–Simpson弱2-范畴，并推测该结果对更高的$n$成立。