高阶范畴中的弱恒等箭头

已有十几个弱高阶范畴的定义，它们都放宽了箭头复合的概念。这里提出一种新方法，转而放宽恒等箭头的概念——这些暂称为公平范畴。该方法在精神上属单纯形范畴，但通常的单纯形范畴 $\Delta$ 被某个‘肥大’的‘带色序数’的 delta 所替代，其中退化映射仅同伦意义下成立。本论述的第一部分面向广大数学读者，并包含对一般高阶范畴单纯形观点的简要介绍。文中解释了公平 $n$-范畴的定义如何几乎被三个标准思想所迫出。第二部分陈述了关于公平范畴的一些基本结果并给出例子。证明了公平 2-范畴的范畴等价于具有严格复合律的双范畴的范畴。公平 3-范畴对应于具有严格复合律的三范畴。该理论的主要动机是 Simpson 的弱单位猜想，即具有严格复合律和弱单位的 $n$-群胚应建模所有同伦 $n$-型。宣布了此猜想在三维情形的一个版本的证明，由与 A. Joyal 的合作工作获得。技术细节及应用更充分的处置将另文发表。