Toeplitz算子半交换子的紧性——一个刻画

设 $T_{f}$ 表示Hardy空间 $H^{2}(\mathbb{T})$ 上的Toeplitz算子，$T_{n}(f)$ 为相应的 $n \times n$ Toeplitz矩阵。本文中，我们借助序列 $\{T_{n}(|f|^{2})-T_{n}(f)T_{n}(\overline{f})\}$ 在奇异值聚类意义下的收敛性，刻画了算子 $T_{|f|^{2}}-T_{f}T_{\overline{f}}$ 与 $T_{|\tilde{f}|^{2}}-T_{\tilde{f}}T_{\overline{\tilde{f}}}$ 的紧性，其中 $\tilde{f}(z)=f(z^{-1})$。由此我们得到一种利用由符号函数的Fourier系数得到的矩阵（Toeplitz矩阵）来检验Toeplitz算子半交换子紧性的方法。函数空间 $VMO \cap L^{\infty}(\mathbb{T})$ 是 $L^{\infty}(\mathbb{T})$ 中最大的 $C^{*}$-子代数，具有如下性质：每当 $f,g \in VMO \cap L^{\infty}(\mathbb{T})$ 时，$T_{fg}-T_{f}T_{g}$ 是紧的。在本文中，我们借助 $\{T_{n}(fg)-T_{n}(f)T_{n}(g)\}$ 在奇异值聚类意义下的收敛性给出了 $VMO \cap L^{\infty}(\mathbb{T})$ 的一个刻画。确切地说，$VMO \cap L^{\infty}(\mathbb{T})$ 是 $L^{\infty}(\mathbb{T})$ 中最大的 $C^{*}$-子代数，具有如下性质：每当 $f,g \in VMO \cap L^{\infty}(\mathbb{T})$ 时，$\{T_{n}(fg)-T_{n}(f)T_{n}(g)\}$ 在奇异值聚类意义下收敛。