Birkhoff 台球桌标记长度等谱集的紧性

我们证明了标记长度等谱的 Birkhoff 台球桌的等价类在 $C^\infty$ 拓扑下是紧的，类似于 Melrose、Osgood、Phillips 和 Sarnak 的拉普拉斯谱结果。为此，我们导出了 Marvizi 和 Melrose 的积分不变量（或等价地，焦散长度–Lazutkin 参数展开的系数为）的层次结构，而这些系数在代数上又等价于 Mather 的 $\beta$ 函数（亦称平均极小作用）的泰勒系数。在一般满足的非重合条件下，这些也是拉普拉斯谱不变量，并可用于“听出某些鼓面的形状”。作为副产品，我们获得了严格凸平面台球桌的拉普拉斯等谱集紧性的一个独立证明。结构定理的证明使用了近乎擦边台球轨道的插值哈密顿量以及一些解析数论来计算其泰勒系数。