半鞅分布的紧性准则与半鞅最优传输

我们为 Skorokhod 空间上的分布集 $\mathfrak{P}^{ac}_{sem}(\Theta)$ 提供了一个紧性准则，其中典范过程 $X$ 是具有绝对连续特征的半鞅，且其微分特征取值于某个给定的 Lévy 三元组集合 $\Theta$。$\Theta$ 的有界性蕴含 $\mathfrak{P}^{ac}_{sem}(\Theta)$ 的紧性，但闭包性一般不成立，即使额外选择 $\Theta$ 为闭且凸的也是如此，因为纯不连续鞅序列可能收敛到一个扩散。为此，我们提供了一个充分必要条件，以防止 $X$ 的典范表示中的纯不连续鞅部分在极限中产生扩散部分。作为结果，我们获得了 $\mathfrak{P}^{ac}_{sem}(\Theta)$ 紧性的一个充分准则，并且证明当 $\Theta$ 的几何形状类似于乘积空间上的盒子时，该准则也是必要的。作为应用，我们考虑了一个半鞅最优传输问题，其中传输计划是 $\mathfrak{P}^{ac}_{sem}(\Theta)$ 的元素。我们证明了最优传输分布 $\widehat{\mathbb{P}}$ 的存在性，并获得了将经典 Kantorovich 对偶性推广到该设置的对偶结果。