加权卷积代数上导子的紧性与弱星连续性

设 $\omega$ 为 $\mathbb R^+$ 上的连续权，并设 $L^1(\omega)$ 为相应的卷积代数。根据 Grønbæk 以及 Bade 与 Dales 的结果，从 $L^1(\omega)$ 到其对偶空间 $L^{\infty}(1/\omega)$ 的连续导子恰好是形如 $$(D_{\phi}f)(t)=\int_0^{\infty}f(s)\,\frac{s}{t+s}\,\phi(t+s)\,ds\qquad\text{($t\in\mathbb R^+$ 且 $f\in L^1(\omega)$)}$$ 的映射，其中 $\phi\in L^{\infty}(1/\omega)$。此外，每个 $D_{\phi}$ 都有唯一的延拓，成为从相应测度代数出发的连续导子 $\bar{D}_{\phi}:M(\omega)\to L^{\infty}(1/\omega)$。我们证明，对 $\phi$ 的某种条件蕴含 $\bar{D}_{\phi}$ 是弱星连续的。例如，当 $\phi\in L_0^{\infty}(1/\omega)$ 时该条件成立。我们也给出了使 $\bar{D}_{\phi}$ 不是弱星连续的 $\phi$ 函数例子。类似地，我们证明在关于 $\phi$ 的某些条件下，$D_{\phi}$ 与 $\bar{D}_{\phi}$ 是紧的。例如，当 $\phi\in C_0(1/\omega)$ 且 $\phi(0)=0$ 时此结论成立。最后，我们给出各种使 $D_{\phi}$ 与 $\bar{D}_{\phi}$ 不是紧算子的 $\phi$ 函数例子。