源自 Desarguesian 平面双射的交换半域

Menichetti-Kaplansky 定理指出，在其中心上为三维的有限半域要么是域，要么是 Albert 扭曲域。这意味着 $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q)$ 的二次齐次双射等价于 Dembowski-Ostrom 单项式。在本文中，我们给出了一大类 $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q)$ 的半二次齐次双射，它们不等价于 Dembowski-Ostrom 单项式。利用这些双射，我们构造了一个庞大的交换半域族，它们与有限域或扭曲域非同伦，这进而产生了一个庞大的非 Desarguesian 交换半域平面族。$\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$ 的半二次齐次双射直到最近才由第一作者以及 Ding 和 Zieve 完成分类，其结果是所有此类双射要么等价于 Dembowski-Ostrom 单项式，要么是退化的。我们证明了 $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q)$ 的情况并非如此。