考克斯特群的抛物子群的正规化子

设 $(W,S)$ 为考克斯特系统，$X$ 为 $S$ 的子集。$W$ 中由 $X$ 生成的子群记为 $W_X$，称为抛物子群。我们给出群中一子群的正规化子的精确定义。特别地，$W_X$ 在 $W$ 中的正规化子是 $W$ 中满足 $wW_Xw^{-1}\cap W_X$ 在 $W_X$ 与 $wW_Xw^{-1}$ 中均有有限指数的 $w$ 组成的子群。$W_X$ 可分解为 $W_X = W_{X^0} \cdot W_{X^\infty} \simeq W_{X^0} \times W_{X^\infty}$，其中 $W_{X^0}$ 有限且 $W_{X^\infty}$ 的所有不可约分支均为无限。令 $Y^\infty$ 为 $S$ 中满足对所有 $s\in X^\infty$ 有 $m_{s,t}=2$ 的 $t$ 的集合。我们证明 $W_X$ 的正规化子为 $W_{Y^\infty} \cdot W_{X^\infty} \simeq W_{Y^\infty} \times W_{X^\infty}$。特别地，抛物子群的正规化子仍为一抛物子群，且 $W_X$ 为其自身正规化子当且仅当 $X^0=Y^\infty$。