两条链乘积的组合、分段线性及双有理 homomesy

本文阐述了 $homomesy$ 这一动力学概念在三种动力学系统（组合、分段线性和双有理）中的体现，并展示了这三种设定之间的关系。特别地，我们展示了 Striker 和 Williams 提出的 rowmotion 和 promotion 操作如何提升为 Stanley 序多面体上的（连续）分段线性操作，进而提升为 $\mathbb{R}^{|P|}$ 正象限乃至 $\mathbb{C}^{|P|}$ 稠密子集上的双有理操作。当偏序集 $P$ 是长度为 $a$ 的链与长度为 $b$ 的链的乘积时，这些提升操作的阶为 $a+b$，并展现出 homomesy 现象：各种量的时间平均值在所有轨道中均相同。一个重要工具是 Striker 和 Williams 发现的 rowmotion 与 promotion 之间共轭关系的具体实现；该 $recombination$ $map$ 使我们能够利用 promotion 的 homomesy 推导出 rowmotion 的 homomesy。注：早期草稿曾表明 Stanley 在序多面体与链多面体之间的传递映射可作为双线性域中类似映射的热带化而出现；出于简洁考虑，我们在 2020 年删除了这部分内容，特别是在 Joseph 和 Roby 将我们的证明推广到非交换域之后（参见 arXiv:1909.09658v3）。尽管如此，希望查看我们证明的读者可通过 arXiv 找到本文预印本的 2018 年 9 月草稿。