有限域上向量空间群作用的上同调

设${\mathbf{F}}_q$为含$q=p^m$个元素的有限域,$G$为${\rm{GL}}_n({\mathbf{F}}_q)$的一个子群。Nori于1987年发表的一个著名定理指出,存在一个(非有效的)常数$c(n)$仅依赖于$n$,使得若$p>c(n)$且$G$在${\mathbf{F}}_p^n$上半单作用,则$H^1(G,{\mathbf{F}}_p^n)=0$。我们解决了这一长期存在的问题(亦为Serre所考虑),即给出Nori定理的有效证明。我们的方法给出了最优常数$c(n)=n+2$。我们还证明了Nori定理的一个更一般版本,即对于$p$的所有幂$q$,若$G$在${\mathbf{F}}_q^n$上半单作用且$p>n+2$,则$H^1(G,{\mathbf{F}}_q^n)$平凡。我们将这些结果应用于改进由\c{C}iperiani与Stix证明的一个判据,该判据针对数域上阿贝尔簇情形Cassels提出的经典问题给出了肯定答案的充分条件。