上同调分形、Cannon-Thurston 映射与测地流

上同调分形是与双曲三维流形中的上同调类自然关联的图像。我们通过光线追踪到固定视觉半径，实时为带尖点、不完整和闭的双曲三维流形生成这些图像。我们是在尝试不使用矢量图形来描绘 Cannon-Thurston 映射时发现了上同调分形；我们证明了当上同调类对偶于一个纤维化时，这两者之间的对应性。这使我们能通过比较上同调分形图像与已有的 Cannon-Thurston 映射图像来验证我们的实现。在一系列实验中，我们探究了随着视觉半径增大上同调分形的极限行为。受这些实验启发，我们证明了上同调分形的值是正态分布的，但具有发散的标准差。事实上，上同调分形在极限下并不收敛到一个函数。相反，我们证明该极限是无穷远球面上的一个分布，仅依赖于流形和上同调类。