上同调刚性与 Anosov-Katok 构造

我们给出一个一般性论证，说明 Anosov-Katok 型构造（如 \cite{AFKo2015} 与 \cite{NKInvDist} 中）在环面以外的流形上无法产生上同调刚性（Cohomologically Rigid）微分同胚。紧流形 $M$ 上的 $C^{\infty }$ 光滑微分同胚 $f$ 是上同调刚性的，当且仅当对 $C^{\infty } (M, \mathbb{C} )$ 中余维数为 $1$ 的闭子空间里的每个 $\varphi$，称为线性上同调方程的方程 \begin{equation*} \psi \circ f - \psi = \varphi \end{equation*} 都存在 $C^{\infty }$ 光滑解 $\psi$。作为一个应用，我们证明在紧型齐性空间中拟周期上循环（quasi-periodic cocycles）的几乎可约（Almost Reducibility）情形下不存在上同调刚性微分同胚，尽管在一般此类系统上的线性上同调方程对稠密的函数 $\varphi$ 子集存在解。我们由此在该背景下证实了 M. Herman 与 A. Katok 的一个猜想，并对阻碍反例构造的机制提供了一些见解。