弱 Hopf 代数上的上同调障碍与弱交叉积

设 $H$ 为余交换弱 Hopf 代数，$(B, \varphi_{B})$ 为弱左 $H$-模代数。本文中，对扭卷积可逆态射 $\sigma:H\otimes H\rightarrow B$，我们将其障碍 $\theta_{\sigma}$ 定义为取值于 $B$ 中心的三次 Sweedler 3-上循环。我们得到：该障碍类在第三 Sweedler 上同调群 $\mathcal{H}^3_{\varphi_{Z(B)}}(H, Z(B))$ 中消失，当且仅当，存在扭卷积可逆 2-上循环 $\alpha:H\otimes H\rightarrow B$，使得 $H\otimes B$ 可赋予弱交叉积结构，且 $\alpha$ 与 $\sigma$ 保持一种类上同调关系。进而作为推论，$\sigma$ 的障碍类消失当且仅当存在 $B$ 被 $H$ 的裂扩张。