对称箭图的上同调霍尔代数

在文献 \cite{KS} 中，Kontsevich 和 Soibelman 特别地为每个具有顶点集 $I$ 的有限箭图 $Q$ 关联了所谓的上同调霍尔代数 $\cH,$ 其是 $\Z_{\geq 0}^I$-分次的。其分次分量 $\cH_{\gamma}$ 被定义为具有维数向量 $\gamma$ 的表示的 Artin 模栈的上同调。乘积源自参数化表示扩张的自然对应。在对称箭图的情况下，可以将分次细化为 $\Z_{\geq 0}^I\times\Z,$ 并通过一个符号修改乘积以获得超交换代数 $(\cH,\star)$（其宇称由 $\Z$-分次诱导）。文献 \cite{KS} 中猜想在这种情况下，代数 $(\cH\otimes\Q,\star)$ 是由形如 $V=V^{prim}\otimes\Q[x]$ 的 $\Z_{\geq 0}^I\times\Z$-分次向量空间自由超交换生成的，其中 $x$ 是双次数为 $(0,2)\in\Z_{\geq 0}^I\times\Z$ 的变量，且所有空间 $\bigoplus\limits_{k\in\Z}V^{prim}_{\gamma,k},$ $\gamma\in\Z_{\geq 0}^I.$ 都是有限维的。在本文中，我们证明了这个猜想（定理 1.1）。我们还证明了对于使得 $V^{prim}_{\gamma,k}\ne 0$ 的对 $(\gamma,k)$ 的一些显式界限（定理 1.2）。过渡到生成函数，我们获得了量子 Donaldson-Thomas 不变量的正性结果，S. Mozgovoy 利用该结果证明了具有足够多环的箭图的 Kac 猜想 \cite{M}。最后，我们提及了与 Reineke 论文 \cite{R} 的联系。