有限域上主极化阿贝尔簇的上同调算术统计

在维数为 $g$ 的 $\mathbb{F}_q$ 上主极化阿贝尔簇的同构类集合上，存在一种以自同构个数为权重的自然概率测度。$\mathbb{F}_q$-有理点的个数分布与主极化阿贝尔簇泛族纤维幂的上同调相关。为此，我们利用 Eichler-Shimura 的结果计算了 $g=1$ 时的上同调 $H^i(\mathcal{X}^{\times n}_g,\mathbb{Q}_\ell)$，利用 Lee-Weintraub 与 Petersen 的结果计算了 $g=2$ 时的上同调，并利用 Hain 的结果以及 Bergstr"om-Faber-van der Geer 的猜想计算了 $g=3$ 时的紧支撑欧拉示性数 $e_\mathrm{c}(\mathcal{X}^{\times n}_g,\mathbb{Q}_\ell)$。在每种情形中，我们确定了点计数 $\#\mathcal{X}^{\times n}_g(\mathbb{F}_q)$ 为 $q$ 的多项式的范围。利用 Borel 以及 Grushevsky-Hulek-Tommasi 关于上同调稳定性的结果，我们改编 Achter-Erman-Kedlaya-Wood-Zureick-Brown 的论证，提出关于极限 $g\rightarrow\infty$ 下点计数 $\#\mathcal{X}^{\times n}_g(\mathbb{F}_q)$ 渐近行为的猜想。