泛 Abel 曲面的上同调及其在算术统计中的应用

主极化 Abel 曲面的模栈 $\mathcal A_2$ 带有泛 Abel 曲面 $\pi: \mathcal X_2 \to \mathcal A_2$。$\pi$ 在对应于 $\mathcal A_2$ 中 Abel 曲面 $A$ 的点上的纤维即为 $A$ 本身。我们确定了 $\mathcal X_2$ 作为 Galois 表示的 $\ell$-进上同调。类似地，对所有 $n \geq 1$，我们考虑丛 $\mathcal X_2^n \to \mathcal A_2$ 与 $\mathcal X_2^{\operatorname{Sym}(n)} \to \mathcal A_2$，其中在对应于 Abel 曲面 $A$ 的点上的纤维分别为 $A^n$ 与 $\operatorname{Sym}^n A$。我们描述了如何计算 $\mathcal X_2^n$ 与 $\mathcal X_2^{\operatorname{Sym}(n)}$ 的 $\ell$-进上同调，并显式计算了所有 $n$ 的低次情形以及 $n=2$ 的所有次数情形。这些结果给出了关于 Abel 曲面算术统计的新信息，包括 $\mathbf F_q$-点数的期望值与方差的精确计算以及高阶矩的渐近性。