弱仿自由3-流形群的余秩

回顾一下，若一个群有一个有限指数子群满射到非交换自由群，则称该群为大的(large)。根据Agol以及Cooper-Long-Reid的工作，大多数3-流形群是大的；特别地，双曲3-流形基本群是大的。在先前工作中，第一作者给出了闭双曲3-流形的例子，其第一同调秩可任意大，但基本群不满射到非交换自由群。若一群满射到非交换自由群，我们称之为非常大(very large)。本文考虑同调把柄体（非常接近自由群）的群是否非常大的问题。我们证明W. Thurston的三脚架流形(tripus manifold)的基本群不是非常大的；由Stallings定理可知其为弱仿自由，且因tripus是具有全测地边界的双曲流形，由Cooper-Long-Reid的工作知其是大的。目前仍未知秩至少为3的弱仿自由3-流形群是否必为非常大。然而，我们更一般地考虑了基本群的余秩，也称为流形的割数(cut number)。对每个正整数g，我们构造一个亏格为g的同调把柄体Y_g，其群的余秩等于r(g)，其中g为偶数时r(g)=g/2，g为奇数时r(g)=(g+1)/2。也就是说，这些群是秩为g的弱仿自由群，且满射到秩约为g一半但不超过该值的自由群。