观点与社会关系动力学协同演化趋向结构平衡

在本文中，我们提出了观点动力学（人们对特定主题的看法）与社会评价动力学（彼此间的赞同或不赞同）的协同演化模型。意见动力学与带符号网络动力学已分别得到广泛研究。我们提出一个协同演化模型，其中网络中每个顶点 $i$ 具有当前观点向量 $v_i$，每条边 $(i,j)$ 具有权重 $w_{ij}$ 以刻画 $i,j$ 之间的关系。系统随观点与边权重按以下规则——观点动力学与评价动力学——随时间更新而演化。我们关注刻画该动力学模型的长期行为——即边权重是否演化为具有稳定符号（正或负）以及结构平衡（任意三角形上权重乘积非负）。我们的主要理论结果求解了上述具有时变观点 $V(t)=[v_1(t),\cdots,v_n(t)]$ 与社会关系权重 $W(t)=[w_{ij}(t)]_{n\times n}$ 的动力学系统。对于一般的初始观点向量 $V(0)$ 与权重矩阵 $W(0)$，极限处必发生如下两种现象之一。其一是符号稳定性与结构平衡（对任意含个体 $i,j,k$ 的三角形，有 $w_{ij}w_{jk}w_{ki}\geq0$）同时发生。在 $V(0)$ 为 $W(0)$ 的特征向量的特例中，我们求得协同演化方程的显式解，并给出爆破时间与收敛速率的精确估计。其二是所有观点收敛于 $0$，即 $\lim_{t\rightarrow \infty}|V(t)|=0$。