Weyl 群的簇实现与高阶 Teichmüller 理论

对于可对称化 Kac-Moody Lie 代数 $\mathfrak{g}$，我们构造了一族加权箭图 $Q_m(\mathfrak{g})$（$m \geq 2$），其簇模群 $\Gamma_{Q_m(\mathfrak{g})}$ 包含 Weyl 群 $W(\mathfrak{g})$ 作为子群。我们计算了相应簇 $\mathcal{A}$- 与 $\mathcal{X}$-变换的显式公式。结果，当 $\mathfrak{g}$ 为有限型时，我们以系统的方式获得了 $Q_m(\mathfrak{g})$ 的绿色序列与簇 Donaldson-Thomas 变换。此外，若 $\mathfrak{g}$ 为经典有限型且 Coxeter 数为 $h$，则箭图 $Q_{kh}(\mathfrak{g})$（$k \geq 1$）在忽略冻结顶点意义下，与编码具有边界上 $2k$ 个标记点的单穿孔圆盘的高阶 Teichmüller 空间簇结构的箭图突变等价。该对应诱导了 Weyl 群直积在一般标记曲面的高阶 Teichmüller 空间上的作用。我们最后证明此作用与 [GS18] 中从几何观点构造的作用一致。