Weyl群的簇实现与量子仿射代数的$q$-特征标

对于有限维单李代数$\mathfrak{g}$和$m \in \mathbb{Z}_{>1}$，我们考虑一个无限箭图$Q(\mathfrak{g})$和一族周期箭图$Q_m(\mathfrak{g})$。箭图$Q(\mathfrak{g})$本质上与Hernandez和Leclerc为量子仿射代数引入的箭图相同。我们以类似于作者、Ishibashi和Oya研究的方式，将Weyl群$W(\mathfrak{g})$构造为$Q_m(\mathfrak{g})$的簇模群的一个子群，并研究其在Frenkel和Reshetikhin引入的量子非扭曲仿射代数$U_q(\hat{\mathfrak{g}})$的$q$-特征标以及格$\mathfrak{g}$-Toda场论中的应用。特别地，当$q$为单位根时，我们证明$q$-特征标在Weyl群作用下不变。我们还表明，$Q(\mathfrak{g})$的$A$-变量对应于格$\mathfrak{g}$-Toda场方程的$\tau$-函数。