Cluster代数与量子toroidal代数的折叠

本文研究了无限秩量子仿射代数 $\mathcal{U}_q(\widehat{\mathfrak{sl}_\infty})$ 表示论与量子toroidal代数 $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}_{2n,\mathrm{tor}})$ 表示论之间的关系。运用Hernandez-Leclerc和Nakajima所致的单性范畴化，我们建立了Hernandez引入的 $q$-字符折叠映射 $\phi_{2n}$ 的聚类理论解释。为此，我们提出了一种关于由无限弓图构成的聚类代数的可折叠性概念，并研究了类型 $A_\infty$ 聚类代数的特定情形。借助 $\phi_{2n}$ 的解释，我们在新情形下证明了Hernandez的猜想。最后，我们研究了一个特定的简单 $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}_{2n,\mathrm{tor}})$-模，其 $q$-字符不是聚类变量，我们推测它是虚向量。