AI 型 $\imath$量子群的簇实现

AI$_n$ 型的 $\imath$量子群 ${\mathrm{U}^\imath_{n}}$ 是量子群 $U_q(\mathfrak{sl}_{n+1})$ 的余理想子代数，对应于对称对 $(\mathfrak{sl}_{n+1},\mathfrak{so}_{n+1})$。本文给出代数 ${\mathrm{U}^\imath_{n}}$ 的一个簇实现。在此实现下，我们对 ${\mathrm{U}^\imath_{n}}$ 的一些基本构造给出簇解释，包括辫群对称性、余理想结构以及 Coxeter 元素的作用。在此过程中，我们研究了 ${\mathrm{U}^\imath_{n}}$ 的一个（重标度）整形式，它与我们的簇实现相容。我们证明该整形式在辫群对称性下不变，并为其构造了 PBW 基。