包含 $\mathbb{Z}_{pq}$ 的 Mal'cev 运算的克隆

我们研究从 $\mathbb{Z}_{pq}$ 到 $\mathbb{Z}_{pq}$ 的有限元函数，其中 $p$ 与 $q$ 为两个不同素数。我们证明：在集合 $\mathbb{Z}_{pq}$ 上包含所有含 $\mathbb{Z}_{pq}$ 加法的克隆的格是有限的。我们通过到一个单射函数给出该格基数的上界，该单射函数映射到所有 $(\mathbb{Z}_p,\mathbb{Z}_q)$-线性闭 clonoid 的格的 $p+1$ 次幂与所有 $(\mathbb{Z}_q,\mathbb{Z}_p)$-线性闭 clonoid 的格的 $q+1$ 次幂的直积。这些格在 arXiv:1910.11759 中已被研究，且其中可找到其确切基数。此外，我们证明这些克隆可由元数至多为 $max(\{p,q\})$ 的函数集生成。